Some linear Jacobi structures on vector bundles

We study Jacobi structures on the dual bundle A to a vector bundle A such that the Jacobi bracket of linear functions is again linear and the Jacobi bracket of a linear function and the constant function 1 is a basic function. We prove that a Lie algebroid structure on A and a 1-cocycle φ ∈ Γ(A) induce a Jacobi structure on A satisfying the above conditions. Moreover, we show that this correspondence is a bijection. Finally, we discuss some examples and applications. Quelques structures de Jacobi linéaires sur des fibrés vectoriels Résumé. On étudie des structures de Jacobi sur le fibré dual A d’un fibré vectoriel A tels que le crochet de Jacobi de fonctions linéaires est à nouveau linéaire et le crochet de Jacobi d’une fonction linéaire et la fonction constante 1 est une fonction basique. On démontre qu’une structure d’algébröıde de Lie sur A et un 1-cocycle φ ∈ Γ(A∗) induisent une structure de Jacobi sur A∗ qui vérifie les conditions antérieures. On voit aussi que cette correspondance est une bijection. On montre finalement quelques exemples et applications. Version française abrégée Soit M une variété différentiable et π : A → M un fibré vectoriel sur M . Un cocycle pour une structure d’algébröıde de Lie sur π : A → M est une section φ du fibré dual π : A → M tel que φ[[μ, η]] = ρ(μ)(φ(η)) − ρ(η)(φ(μ)), pour tout μ, η ∈ Γ(A), où [[, ]] est le crochet de Lie sur l’espace Γ(A) des sections de π : A → M et ρ : A → TM est l’application ancre (voir [13]). On dénote donc par à l’ensemble des paires (([[, ]], ρ), φ), où ([[, ]], ρ) est une structure d’algébröıde de Lie sur π : A → M et φ ∈ Γ(A) un 1-cocycle. D’ailleurs, on dénote par J l’ensemble des structures de Jacobi (Λ, E) sur A, lesquelles satisfont les deux conditions suivantes: (C1) Le crochet de Jacobi de deux fonctions linéaires est linéaire. (C2) Le crochet de Jacobi d’une fonction linéaire et la fonction constante 1 est une fonction basique. On démontre donc, dans cette note, qu’il y a une correspondance bijective Ψ : à → J entre les ensembles à et J . L’application Ψ est défini par Ψ(([[, ]], ρ), φ) = (Λ(A∗,φ), E(A∗,φ)) avec Λ(A∗,φ) = ΛA∗ +∆ ∧ φ , E(A∗,φ) = −φ , où ΛA∗ est le bi-vecteur de Poisson sur A ∗ induit par la structure d’algébröıde de Lie ([[, ]], ρ) (voir [2, 3]), ∆ est le champ de Liouville sur A et φ est le relèvement vertical de φ. Observons que les paires dans à de la forme (([[, ]], ρ), 0) correspondent, à travers Ψ, aux structures de Poisson dans J . Ainsi, comme conséquence, on déduit un résultat démontré dans [2, 3]. Les conditions (C1) et (C2) établies ci-dessus sont naturelles. En fait, on démontre que celles-ci sont vérifiées pour quelques structures de Jacobi, bien connues et importantes, définies sur l’espace